Cómo calcular el MCD y el MCM paso a paso
El MCD (máximo común divisor) y el MCM (mínimo común múltiplo) aparecen en las fracciones, en los problemas de repartos y en los de «cada cuánto coinciden». Mucha gente los confunde porque se parecen, pero se calculan de forma distinta. En esta guía verás tres métodos, con ejemplos resueltos, una tabla para no confundirlos y ejercicios con soluciones.
Resumen rápido
¿Qué son el MCD y el MCM?
Para entenderlos, necesitas dos ideas:
Para entenderlos, necesitas dos ideas:
- Los divisores de un número son los que lo dividen exactamente. Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12.
- Los múltiplos de un número son los que salen al multiplicarlo: los múltiplos de 4 son 4, 8, 12, 16, 20…
El MCD busca entre los divisores comunes el mayor. El MCM busca entre los múltiplos comunes el menor.
Método 1: escribir listas (para números pequeños)
MCD de 18 y 30
- Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
- Divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
- Divisores comunes: 1, 2, 3 y 6.
MCD(18, 30) = 6
MCM de 6 y 8
- Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30…
- Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32…
- El primer múltiplo común es 24.
MCM(6, 8) = 24
Este método es fácil, pero con números grandes las listas se hacen larguísimas. Para eso están los otros dos.
Método 2: con la factorización prima
Primero descompón cada número en factores primos. Si necesitas repasarlo, mira cómo sacar la factorización prima de un número.
Ejemplo 1: MCD y MCM de 36 y 48
- 36 = 2² × 3²
- 48 = 2⁴ × 3
MCD: factores comunes con el menor exponente.
- Del 2: el menor exponente es 2 → 2²
- Del 3: el menor exponente es 1 → 3
MCD = 2² × 3 = 4 × 3 = 12
MCM: todos los factores con el mayor exponente.
- Del 2: el mayor exponente es 4 → 2⁴
- Del 3: el mayor exponente es 2 → 3²
MCM = 2⁴ × 3² = 16 × 9 = 144
Comprobación: MCD × MCM = 12 × 144 = 1728, y 36 × 48 = 1728 ✓
Ejemplo 2: tres números (20, 30 y 45)
- 20 = 2² × 5
- 30 = 2 × 3 × 5
- 45 = 3² × 5
MCD: el único factor común a los tres es el 5 → MCD = 5
MCM: 2² × 3² × 5 = 4 × 9 × 5 = 180
Comprobación: 180 ÷ 20 = 9, 180 ÷ 30 = 6 y 180 ÷ 45 = 4, todas divisiones exactas ✓
(Con tres números la fórmula MCD × MCM = a × b ya no funciona. Solo vale para dos.)
Método 3: el algoritmo de Euclides (para números grandes)
Sirve para calcular el MCD sin factorizar. Consiste en hacer divisiones sucesivas, cada vez entre el divisor y el resto anterior, hasta que el resto sea 0. El último resto distinto de cero es el MCD. Si no recuerdas cómo se hacía, repasa la división larga.
Ejemplo: MCD y MCM de 252 y 105
- 252 ÷ 105 = 2, resto 42 (porque 2 × 105 = 210 y 252 − 210 = 42).
- 105 ÷ 42 = 2, resto 21 (porque 2 × 42 = 84 y 105 − 84 = 21).
- 42 ÷ 21 = 2, resto 0.
El último resto distinto de cero es 21.
MCD(252, 105) = 21
Para el MCM usamos la fórmula: MCM = (a × b) ÷ MCD.
MCM = (252 × 105) ÷ 21 = 26 460 ÷ 21 = 1260
Comprobación con factorización: 252 = 2² × 3² × 7 y 105 = 3 × 5 × 7. El MCD es 3 × 7 = 21 ✓
¿Cuándo uso el MCD y cuándo el MCM?
| MCD | MCM | |
| Qué busca | El divisor común más grande | El múltiplo común más pequeño |
| Factorización | Comunes, menor exponente | Todos, mayor exponente |
| Resultado | Menor o igual que el número más pequeño | Mayor o igual que el número más grande |
| Se usa para | Repartir en grupos iguales, simplificar fracciones | Cuándo coinciden, sumar fracciones con distinto denominador |
Problema de MCD
Tengo 36 chicles y 48 caramelos. Quiero hacer bolsas iguales, sin que sobre nada. ¿Cuántas bolsas puedo hacer como máximo?
Buscamos el divisor común más grande: MCD(36, 48) = 12. Se pueden hacer 12 bolsas, cada una con 3 chicles y 4 caramelos.
Problema de MCM
Un autobús sale cada 12 minutos y otro cada 15. Salen juntos a las 8:00. ¿Cuándo vuelven a salir juntos?
12 = 2² × 3 y 15 = 3 × 5, así que MCM(12, 15) = 2² × 3 × 5 = 60. Vuelven a coincidir a los 60 minutos, a las 9:00.
Casos especiales
- Números primos entre sí (sin divisores comunes salvo el 1), como 8 y 15: el MCD es 1 y el MCM es su producto, 8 × 15 = 120.
- Si un número divide al otro, como 6 y 18: el MCD es el menor (6) y el MCM es el mayor (18).
Errores frecuentes
Ejercicios para practicar
Resuélvelos en tu cuaderno y compara después:
- MCD y MCM de 16 y 24
- MCD y MCM de 45 y 75
- MCD y MCM de 28 y 42
- MCD y MCM de 8, 12 y 20
- Ana va a la biblioteca cada 6 días y Luis cada 8. Hoy coinciden. ¿Dentro de cuántos días volverán a coincidir?
Soluciones:
- MCD 8, MCM 48 · 2) MCD 15, MCM 225 · 3) MCD 14, MCM 84 · 4) MCD 4, MCM 120 · 5) 24 días (MCM de 6 y 8)
Cómo comprobar tu resultado con la calculadora
Cuando termines, puedes comparar tu cuaderno con la Calculadora Alicia: escribe los dos números en la caja «MCD y MCM» y pulsa Calcular. Verás los pasos del algoritmo de Euclides y los dos resultados. Si no coincide con el tuyo, busca el primer paso donde os separáis.
