Cómo sacar la factorización prima de un número

Factorizar un número es escribirlo como una multiplicación de números primos. Por ejemplo, 84 = 2 × 2 × 3 × 7. Es una de las habilidades más útiles de las matemáticas de primaria y ESO, porque se usa para simplificar fracciones, calcular el MCD y el MCM y entender las raíces. En esta guía aprenderás dos métodos, con ejemplos resueltos, reglas de divisibilidad y ejercicios con soluciones.

Resumen rápido

¿Qué es un número primo?

Un número primo es el que solo se puede dividir exactamente entre 1 y entre sí mismo. Los que más vas a usar son:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…
Un número que tiene más divisores se llama compuesto (por ejemplo, 12, 15 o 84). El número 1 no es primo ni compuesto.

Método 1: divisiones sucesivas (la barra vertical)

Es el método más ordenado y el que se usa en la mayoría de los colegios. Se escribe el número a la izquierda de una barra y los primos a la derecha.

Ejemplo 1: 84

84 | 2
42 | 2
21 | 3
 7 | 7
 1 |

1. 84 es par, así que lo dividimos entre 2 → 42.
2. 42 también es par → dividimos entre 2 → 21.
3. 21 no es par, pero sí múltiplo de 3 → 7.
4. 7 es primo → lo dividimos entre 7 → 1.

84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7

Comprobación: 4 × 3 × 7 = 84 ✓

Ejemplo 2: 252

252 | 2
126 | 2
 63 | 3
 21 | 3
  7 | 7
  1 |

252 = 2² × 3² × 7

Comprobación: 4 × 9 × 7 = 252 ✓

Ejemplo 3: un número impar (945)

945 es impar, así que no se puede dividir entre 2. Probamos con el siguiente primo.

945 | 3
315 | 3
105 | 3
 35 | 5
  7 | 7
  1 |

945 = 3³ × 5 × 7

Comprobación: 27 × 5 × 7 = 945 ✓

Regla de oro: divide siempre entre el primo más pequeño posible y no pases al siguiente primo hasta que el actual ya no divida al número.

Reglas de divisibilidad que te ahorran tiempo

Para saber qué primo probar, usa estas reglas:

Método 2: el árbol de factores

Aquí vas «rompiendo» el número en dos factores cualquiera, y cada factor que no sea primo se vuelve a romper hasta que todas las ramas terminen en primos.

Ejemplo: 140

        140
       /   \
     14     10
    /  \   /  \
   2    7 2    5

Los extremos de las ramas son 2, 7, 2 y 5.

140 = 2 × 2 × 5 × 7 = 2² × 5 × 7

Comprobación: 4 × 5 × 7 = 140 ✓

El árbol es más visual; la barra vertical es más rápida y ordenada. Los dos dan siempre el mismo resultado, porque cada número tiene una única factorización prima.

Cómo escribir el resultado con potencias

Cuando un primo se repite, se agrupa con un exponente:

• 2 × 2 × 2 = 2³
• 3 × 3 = 3²
• 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7

Por orden, se escriben los primos de menor a mayor.

¿Cómo sé si un número es primo?

Prueba a dividirlo entre los primos más pequeños. Basta con probar hasta la raíz cuadrada del número: si no lo divide ninguno, es primo.

Ejemplo: ¿es primo el 97? Su raíz cuadrada es menor que 10, así que probamos 2, 3, 5 y 7.

• No es par.
• 9 + 7 = 16, no es múltiplo de 3.
• No termina en 0 ni en 5.
• 97 ÷ 7 no es exacto.

Ninguno lo divide, así que 97 es primo.

Para qué sirve la factorización prima

Errores frecuentes

Ejercicios para practicar

Factoriza estos números en tu cuaderno y compara después:

1. 48
2. 90
3. 210
4. 396
5. 1001
6. ¿Es primo el 91?

Soluciones:

1. 2⁴ × 3 · 2) 2 × 3² × 5 · 3) 2 × 3 × 5 × 7 · 4) 2² × 3² × 11 · 5) 7 × 11 × 13 · 6) No, 91 = 7 × 13

Cómo comprobar tu factorización con la calculadora

Cuando termines, compara tu cuaderno con la Calculadora Alicia: escribe el número, por ejemplo 252, y pulsa el botón |. Verás la descomposición con la barra vertical y el resultado escrito con potencias. Si no coincide con el tuyo, busca el primer paso donde os separáis.

Preguntas frecuentes