Cómo calcular una raíz cuadrada paso a paso

La raíz cuadrada de un número es el número que, multiplicado por sí mismo, da el original. Por ejemplo, √49 = 7 porque 7 × 7 = 49. Con una calculadora normal solo ves el resultado, pero en clase te piden saber cómo se calcula a mano. En esta guía verás tres métodos (estimación, factorización prima y método de pares), con ejemplos resueltos y ejercicios con soluciones.

Resumen rápido

¿Qué es la raíz cuadrada?

La raíz cuadrada es la operación contraria a elevar al cuadrado:

• 8² = 64, así que √64 = 8.
• 12² = 144, así que √144 = 12.

Los números que tienen raíz exacta se llaman cuadrados perfectos (4, 9, 16, 25, 36…). Los que no, como el 50, tienen una raíz decimal que no termina.

Además de los más típicos, conviene saber estos cuadrados, que suelen olvidarse:

Método 1: estimación (cuando la raíz no es exacta)

Sirve para saber, a ojo, entre qué números está la raíz y acercarte a un valor decimal.

Ejemplo: √50

1. Busca los cuadrados perfectos más cercanos: 7² = 49 y 8² = 64.
2. Como 50 está entre 49 y 64, la raíz está entre 7 y 8, muy cerca de 7.
3. Prueba con decimales:
   • 7,1² = 50,41 → se pasa.
   • 7,05² = 49,70 → se queda corto.
   • 7,07² = 49,98 → casi perfecto.

√50 ≈ 7,07

Método 2: factorización prima (cuadrados perfectos)

Es ideal cuando el número es un cuadrado perfecto y no recuerdas su raíz. Se factoriza el número y se toma un factor de cada pareja. Si necesitas repasar cómo se factoriza, lee cómo sacar la factorización prima de un número.

Ejemplo 1: √576

1. Factorizamos: 576 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2⁶ × 3².
2. Agrupamos en parejas iguales: (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (3 × 3).
3. Sacamos un factor de cada pareja: 2 × 2 × 2 × 3.

√576 = 24

Comprobación: 24 × 24 = 576 ✓

Ejemplo 2: √180 (raíz no exacta, simplificada)

1. 180 = 2² × 3² × 5.
2. Las parejas (2 × 2) y (3 × 3) salen de la raíz: 2 × 3 = 6.
3. El 5 no tiene pareja, así que se queda dentro.

√180 = 6√5

Comprobación: 6² × 5 = 36 × 5 = 180 ✓

Método 3: el método de pares (paso a paso)

Es el algoritmo que funciona con cualquier número, aunque sea grande o no exacto. Al principio parece largo, pero se repite siempre igual.

Los pasos:

1. Agrupa las cifras de dos en dos, de derecha a izquierda.
2. Busca el mayor número cuyo cuadrado cabe en el primer grupo. Escríbelo en la raíz y réstalo.
3. Baja el siguiente par de cifras.
4. Dobla la raíz que llevas y busca una cifra d tal que (doble × 10 + d) × d no pase del número que tienes.
5. Escribe d en la raíz, resta y repite hasta acabar.

Ejemplo 1: √2209

1. Agrupamos: 22 | 09.
2. El mayor cuadrado que cabe en 22 es 16 (4²). Escribimos 4 en la raíz. Resto: 22 − 16 = 6.
3. Bajamos 09 y queda 609.
4. Doblamos la raíz: 4 × 2 = 8. Buscamos d tal que (80 + d) × d ≤ 609. Con d = 7: 87 × 7 = 609.
5. Escribimos 7 en la raíz. Resto: 0.

√2209 = 47

Comprobación: 47 × 47 = 2209 ✓

Ejemplo 2: raíz con decimales (√10)

Para sacar decimales se añaden pares de ceros después de la coma: 10 | 00 | 00.

1. El mayor cuadrado que cabe en 10 es 9 (3²). Raíz: 3. Resto: 1.
2. Bajamos 00 → 100. Doblamos 3 → 6. (60 + d) × d ≤ 100: con d = 1, 61 × 1 = 61. Raíz: 3,1 (ponemos coma). Resto: 39.
3. Bajamos 00 → 3900. Doblamos 31 → 62. (620 + d) × d ≤ 3900: con d = 6, 626 × 6 = 3756. Raíz: 3,16.

√10 ≈ 3,16

¿Qué método elijo?

Errores frecuentes

Ejercicios para practicar

Resuélvelos en tu cuaderno y compara después:

1. √169
2. √324
3. √1296 (usa la factorización)
4. √2025 (usa el método de pares)
5. ¿Entre qué dos números enteros está √60?

Soluciones:

1. 13 · 2) 18 · 3) 36 · 4) 45 · 5) Entre 7 y 8 (7² = 49 y 8² = 64; √60 ≈ 7,75)

Cómo comprobar tu raíz con la calculadora

Cuando termines, compara tu cuaderno con la Calculadora Alicia: escribe el número, por ejemplo 2209, y pulsa el botón RC. Verás el resultado y el método de agrupar las cifras de dos en dos. Si no coincide con el tuyo, busca el primer paso donde os separáis.

Preguntas frecuentes